극과 극은 통하는 법이다. 예를 들어 어느 나라나 극우주의자들이나 극좌주의자들의 성향과 행동은 비슷하다. 극우주의자의 상징 히틀러와 공산주의자의 상징 스탈린이 저지른 짓이 비슷하듯이 말이다. 수학에는 극과 극이 통한다는 것을 잘 나타내는 이론이 하나 있다. '한점 컴팩트화 정리(One-Point Compactification Theorem)'라는 것이다. 어떤 물체이든지 그것에 한 개의 점만 더 붙이면 그것이 콤팩트(compact)한 물체로 바뀐다는 정리이다. 곡선인 경우 원과 같은 폐곡선이 컴팩트한 물체의 예 이다. 예를 들어 원래 물체가 수 직선 R인 경우 그것에 한 점만 더 갖다 붙이면 그것은 원이 된다. 즉, 직선을 큰 원에서 한 점을 뺀 것으로 간주할 수 있으며 직선 위에서 서로 반대 방향으로 멀어지는 두 점은 결국 이 한 점으로 수렴하는 것이다. 양극단이 만난다는 말은 바로 이런 의미이다.

p252

우리의 삶에 있어서 판단력과 분별력은 매우 중요하다. 판단력은 인생의 중요한 일들을 결정할 때 발휘되기도 하지만 일상적인 생활 중에도 늘 필요하다. 살아가면서 우리는 이런저런 판단을 하고, 그것들이 쌓여서 각자의 삶의 질과 행복지수가 결정된다.
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수학 공부의 필요성을 이야기할 때, 사람들은 흔히 수학 공부를 통해서 학생들이 '논리적 사고 및 서술 능력'과 '문제 해결 능력'이 증진된다고 말한다. 물론 맞는 말이다. 하지만 나는 논리적 사고력보다는 어떤 추상적 개념을 구체적으로 명확하게 이해하고 활용하는 능력이 더 중요하다고 생각한다. 좌표, 함수, 그래프, 집합, 연산과 같은 추상적 개념을 이해하여 자기의 것으로 만드는 게 우선이다. 논리적 사고력이나 문제 해결력은 그다음이다.
수학 공부를 많이 하면 새로운 개념을 받아들이는 능력, 복잡한 개념을 단순화하는 능력이 증진된다. 그리고 누군가 틀린 말을 할 때 그것이 틀리다는 것을 인지하는 능력이 증진된다. 어떤 문제에 대해 누군가 제시한 답이 틀릴 경우, 비록 정답이 무엇인지는 모를지라도 그것이 틀리다는 것은 알아채는 능력이 향상되는 것이다. 그런의미에서 수학 공부는 분별력을 키우는데에 도움이 된다.



p345,355 수학적 사고가 필요한 이유