극과 극은 통하는 법이다. 예를 들어 어느 나라나 극우주의자들이나 극좌주의자들의 성향과 행동은 비슷하다. 극우주의자의 상징 히틀러와 공산주의자의 상징 스탈린이 저지른 짓이 비슷하듯이 말이다. 수학에는 극과 극이 통한다는 것을 잘 나타내는 이론이 하나 있다. '한점 컴팩트화 정리(One-Point Compactification Theorem)'라는 것이다. 어떤 물체이든지 그것에 한 개의 점만 더 붙이면 그것이 콤팩트(compact)한 물체로 바뀐다는 정리이다. 곡선인 경우 원과 같은 폐곡선이 컴팩트한 물체의 예 이다. 예를 들어 원래 물체가 수 직선 R인 경우 그것에 한 점만 더 갖다 붙이면 그것은 원이 된다. 즉, 직선을 큰 원에서 한 점을 뺀 것으로 간주할 수 있으며 직선 위에서 서로 반대 방향으로 멀어지는 두 점은 결국 이 한 점으로 수렴하는 것이다. 양극단이 만난다는 말은 바로 이런 의미이다.

p252

우리의 삶에 있어서 판단력과 분별력은 매우 중요하다. 판단력은 인생의 중요한 일들을 결정할 때 발휘되기도 하지만 일상적인 생활 중에도 늘 필요하다. 살아가면서 우리는 이런저런 판단을 하고, 그것들이 쌓여서 각자의 삶의 질과 행복지수가 결정된다.
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수학 공부의 필요성을 이야기할 때, 사람들은 흔히 수학 공부를 통해서 학생들이 '논리적 사고 및 서술 능력'과 '문제 해결 능력'이 증진된다고 말한다. 물론 맞는 말이다. 하지만 나는 논리적 사고력보다는 어떤 추상적 개념을 구체적으로 명확하게 이해하고 활용하는 능력이 더 중요하다고 생각한다. 좌표, 함수, 그래프, 집합, 연산과 같은 추상적 개념을 이해하여 자기의 것으로 만드는 게 우선이다. 논리적 사고력이나 문제 해결력은 그다음이다.
수학 공부를 많이 하면 새로운 개념을 받아들이는 능력, 복잡한 개념을 단순화하는 능력이 증진된다. 그리고 누군가 틀린 말을 할 때 그것이 틀리다는 것을 인지하는 능력이 증진된다. 어떤 문제에 대해 누군가 제시한 답이 틀릴 경우, 비록 정답이 무엇인지는 모를지라도 그것이 틀리다는 것은 알아채는 능력이 향상되는 것이다. 그런의미에서 수학 공부는 분별력을 키우는데에 도움이 된다.



p345,355 수학적 사고가 필요한 이유

진화 논리는 자연 세계의 모든 종이 완벽하지는 않되 생존 에 필요한 적당한 수준의 특성들을 갖게 만들어놓았다. 생물
학자 앤서니 브래드쇼Anthony Bradshaw는 흔히 진화를 통해 어떤 특성이 성공적으로 발전하는 측면에만 주목하지만 불완전한 측면도 똑같이 중요하다고 말한다.
옳은 말이다. 하나의 능력이 완벽해질 경우 다른 능력을 희 생해야 한다면 개체가 지닌 잠재력을 최대치로 실현하지 않 는 것이 이상적이다.
38억 년 동안 진행된 진화는 약간의 비효율성이 필요하다 는 사실을 증명해왔다. 우리는 여기에 좀 더 주목할 필요가 있다.
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많은 이들이 효율적인 삶을 살려 애쓴다. 시간을 조금도 남 비하지 않으려고 한다. 하지만 사람들이 잘 모르는 사실이 있다. 시간을 낭비하는 것이 오히려 현명한 일이 될 수 있다는 것이다.
심리학자 아모스 트버스키Amos Tversky는 언젠가 이런 말을 했다. "훌륭한 연구 성과를 내는 비결은 항상 조금씩 덜 일하는 것이다. 몇 시간을 낭비하지 않으면 결국 몇 년을 낭비하게 된다."

p258-259 완벽함의 함정

우리는, 우리가 자신과 세상을 위해 발전하기를 원한다고 생각하지만 대개의 경우 사실이 아니다. 정말로 원하는 것은 기대한 것과 실제 결과의 차이를 경험하는 일이다. 즉 우리는 기대한 것보다 더 좋은 결과를 얻었을 때 만족과 성취감을 느낀다. 그리고 이 등식에서 기대치 부분은 중요할 뿐 아니라 현실 상황보다 더 쉽게 통제할 수 있는 경우가 많다.

p81 기대치와 현실


세상을 뒤흔드는 파괴적 사건은 평균적으로 약 10년에 한 번씩 일어난다. 역사적으로 늘 그랬고, 앞으로도 늘 그럴 것이다. 때로는 그런 사건이 끔찍한 불운 탓으로 느껴진다. 때로는 나쁜 사건이 점점 더 늘어나는 것처럼 느껴진다. 하지만 대개 그것은 통계적 확률의 결과다.
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사람들이 원하는 것은 정확한 정보가 아니다. 그들이 원하는 것은 확실성이다.
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과거에 했던 예측이 틀렸다는 사실은 미래를 예측하고 싶은 욕구에 영향을 미치지 못한다. 확실성은 너무나 소중해서 사람들은 그것을 얻으려는 시도를 절대 멈추지 않을 것이다. 그리고 대다수 사람은 만일 미래가 얼마나 불확실한지 확실히 깨닫는다면 하루를 시작할 의욕조차 생기지 않을 것이다.

표본 규모가 유의미한 수준으로 커지려면 너무 오래 걸리는 경우가 많다. 따라서 우리는 그저 추측할 수밖에 없다.

리스크가 가져오는 결과가 고통스러울 때는 확률적으로 예측 가능한 불운과 부주의함을 구분하기 어렵다. 확률이 분명할 때조차도 이분법적 시각을 갖기 쉽다.

우리는 확률과 큰 숫자를 제대로 이해하지 못하기 때문에 일상적이고 필연적인 리스크, 확률적으로 볼 때 언제고 일어나게 되어 있는 리스크에 과도하게 민감해진다. 인간은 지금까지 늘 그래왔다.

p111-115 확률과 확실성