극과 극은 통하는 법이다. 예를 들어 어느 나라나 극우주의자들이나 극좌주의자들의 성향과 행동은 비슷하다. 극우주의자의 상징 히틀러와 공산주의자의 상징 스탈린이 저지른 짓이 비슷하듯이 말이다. 수학에는 극과 극이 통한다는 것을 잘 나타내는 이론이 하나 있다. '한점 컴팩트화 정리(One-Point Compactification Theorem)'라는 것이다. 어떤 물체이든지 그것에 한 개의 점만 더 붙이면 그것이 콤팩트(compact)한 물체로 바뀐다는 정리이다. 곡선인 경우 원과 같은 폐곡선이 컴팩트한 물체의 예 이다. 예를 들어 원래 물체가 수 직선 R인 경우 그것에 한 점만 더 갖다 붙이면 그것은 원이 된다. 즉, 직선을 큰 원에서 한 점을 뺀 것으로 간주할 수 있으며 직선 위에서 서로 반대 방향으로 멀어지는 두 점은 결국 이 한 점으로 수렴하는 것이다. 양극단이 만난다는 말은 바로 이런 의미이다.

p252

우리의 삶에 있어서 판단력과 분별력은 매우 중요하다. 판단력은 인생의 중요한 일들을 결정할 때 발휘되기도 하지만 일상적인 생활 중에도 늘 필요하다. 살아가면서 우리는 이런저런 판단을 하고, 그것들이 쌓여서 각자의 삶의 질과 행복지수가 결정된다.
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수학 공부의 필요성을 이야기할 때, 사람들은 흔히 수학 공부를 통해서 학생들이 '논리적 사고 및 서술 능력'과 '문제 해결 능력'이 증진된다고 말한다. 물론 맞는 말이다. 하지만 나는 논리적 사고력보다는 어떤 추상적 개념을 구체적으로 명확하게 이해하고 활용하는 능력이 더 중요하다고 생각한다. 좌표, 함수, 그래프, 집합, 연산과 같은 추상적 개념을 이해하여 자기의 것으로 만드는 게 우선이다. 논리적 사고력이나 문제 해결력은 그다음이다.
수학 공부를 많이 하면 새로운 개념을 받아들이는 능력, 복잡한 개념을 단순화하는 능력이 증진된다. 그리고 누군가 틀린 말을 할 때 그것이 틀리다는 것을 인지하는 능력이 증진된다. 어떤 문제에 대해 누군가 제시한 답이 틀릴 경우, 비록 정답이 무엇인지는 모를지라도 그것이 틀리다는 것은 알아채는 능력이 향상되는 것이다. 그런의미에서 수학 공부는 분별력을 키우는데에 도움이 된다.



p345,355 수학적 사고가 필요한 이유

미국 연방 대법관 올리버 웬들 홈스 주니어는 "새로운 경험에 의해 확장된 정신은 절대 과거의 상태로 돌아갈 수 없다"라고 말했다. 대공황을 경험한 세대는 돈에 대한 관점이 완전히 달라졌다. 그들은 평생 더 열심히 저축했고, 부채를 덜 만들었으며, 리스크를 신중하게 경계했다.
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개인이나 집단 간의 견해 및 시각 차이로 인한 충돌은 역사
에서 늘 있어온 인간의 기본적 행동 패턴이다.
"왜 저 사람은 나와 의견이 다를까?"라는 질문에 대한 답은 무수히 많다. 저 사람은 이기적이니까, 멍청하니까, 분별력이 없으니까, 무식하니까 등등.
그러나 대개는 이 질문을 던지는 것이 현명하다. "저 사람은 내가 경험하지 못한 무엇을 경험했기에 그런 견해를 갖고 있 을까? 만일 저 사람과 같은 경험을 한다면 나도 저렇게 생각 하게될까?“
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경험하지 못한 무언가가 내 견해를 바꿀 수도 있다는 생각 은 심리적 불편함을 초래한다. 내가 무지하고 뭘 제대로 모른 다는 사실을 인정하는 셈이기 때문이다. 대신 나와 의견이 다른 사람은 나보다 생각이 짧은 것이라고 믿는 것이 훨씬 더 쉽고 속 편하다.
그러므로 우리는 늘 의견이 충돌할 수밖에 없다. 심지어 정보와 지식이 넘쳐나도 마찬가지다. 사람들의 의견 충돌은 그 어느 때보다 심해질지 모른다. 기술 트렌드 분석가 베니딕트 에번스가 말했듯 "인터넷을 통해 새로운 관점을 더 많이 접할수록 사람들은 다른 관점이 존재한다는 사실에 더 분노하기" 때문이다.
의견 충돌은 사람들이 가진 지식이 아니라 경험과 더 크게 관련되어 있다. 그리고 사람들의 경험은 언제나 다르기 마련 이므로 의견 충돌도 계속 일어날 수밖에 없다.

과거에도 그랬고, 앞으로도 그럴 것이다.
늘 변함없이.


p387-391 상처는 아물지만 흉터는 남는다

진화 논리는 자연 세계의 모든 종이 완벽하지는 않되 생존 에 필요한 적당한 수준의 특성들을 갖게 만들어놓았다. 생물
학자 앤서니 브래드쇼Anthony Bradshaw는 흔히 진화를 통해 어떤 특성이 성공적으로 발전하는 측면에만 주목하지만 불완전한 측면도 똑같이 중요하다고 말한다.
옳은 말이다. 하나의 능력이 완벽해질 경우 다른 능력을 희 생해야 한다면 개체가 지닌 잠재력을 최대치로 실현하지 않 는 것이 이상적이다.
38억 년 동안 진행된 진화는 약간의 비효율성이 필요하다 는 사실을 증명해왔다. 우리는 여기에 좀 더 주목할 필요가 있다.
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많은 이들이 효율적인 삶을 살려 애쓴다. 시간을 조금도 남 비하지 않으려고 한다. 하지만 사람들이 잘 모르는 사실이 있다. 시간을 낭비하는 것이 오히려 현명한 일이 될 수 있다는 것이다.
심리학자 아모스 트버스키Amos Tversky는 언젠가 이런 말을 했다. "훌륭한 연구 성과를 내는 비결은 항상 조금씩 덜 일하는 것이다. 몇 시간을 낭비하지 않으면 결국 몇 년을 낭비하게 된다."

p258-259 완벽함의 함정